答：在數學(xué)歷史上，有三次大的危機深刻影響著(zhù)數學(xué)的發(fā)展，三次數學(xué)危機分別是：無(wú)理數的發(fā)現、微積分的完備性、羅素悖論。

第一次數學(xué)危機第一次數學(xué)危機發(fā)生在公元400年前，在古希臘時(shí)期，畢達哥拉斯學(xué)派對“數”進(jìn)行了定義，認為任何數字都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數之商，也就是認為所有數字都是有理數。

但是該學(xué)派的一個(gè)門(mén)徒希帕索斯發(fā)現，邊長(cháng)為“1”的正方形，其對角線(xiàn)“√2”無(wú)法寫(xiě)成兩個(gè)整數的商，由此發(fā)現了第一個(gè)無(wú)理數。

畢達哥拉斯的其他門(mén)徒知道后，為了維護門(mén)派的正統性，把希帕索斯殺害了，并拋入大海之中，看來(lái)古人也是解決不了問(wèn)題時(shí)，先解決提出問(wèn)題的人。

即便如此，無(wú)理數的發(fā)現很快引起了一場(chǎng)數學(xué)革命，史稱(chēng)第一次數學(xué)危機，這危機影響數學(xué)史近兩千年的時(shí)間。

第二次數學(xué)危機微積分是一項偉大的發(fā)明，牛頓和萊布尼茨都是微積分的發(fā)明者，兩人的發(fā)現思路截然不同；但是兩人對微積分基本概念的定義，都存在模糊的地方，這遭到了一些人的強烈反對和攻擊，其中攻擊最強烈的是英國大主教貝克萊，他提出了一個(gè)悖論：

從微積分的推導中我們可以看到，△x在作為分母時(shí)不為零，但是在最后的公式中又等于零，這種矛盾的結果是災難性的，很長(cháng)一段時(shí)間內數學(xué)家都找不到解決辦法。直到微積分發(fā)明100多年后，法國數學(xué)家柯西用極限定義了無(wú)窮小量，才徹底解決了這個(gè)問(wèn)題。

第三次數學(xué)危機數學(xué)家總有一個(gè)夢(mèng)想，試圖建立一些基本的公理，然后利用嚴格的數理邏輯，推導和證明數學(xué)的所有定理；康托爾發(fā)明集合論后，讓數學(xué)家們看到了曙光，法國科學(xué)家龐加萊認為：我們可以借助結合論，建造起整座數學(xué)大廈。

正在數學(xué)家高興之時(shí)，英國哲學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素，提出了一個(gè)驚人的悖論——羅素悖論：

羅素悖論通俗描述為：在某個(gè)城市中，有一位名譽(yù)滿(mǎn)城的理發(fā)師說(shuō)：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉?！蹦敲凑垎?wèn)理發(fā)師自己的臉該由誰(shuí)來(lái)刮？

羅素悖論的提出，引發(fā)了數學(xué)上的又一次危機，數學(xué)家辛辛苦苦建立的數學(xué)大廈，最后發(fā)現基礎居然存在缺陷，數學(xué)家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個(gè)公理化集合論體系的建立，才彌補了集合論的缺陷。

雖然三次數學(xué)危機都已經(jīng)得到了解決，但是對數學(xué)史的影響是非常深刻的，數學(xué)家試圖建立嚴格的數學(xué)系統，但是無(wú)論多么小心，都會(huì )存在缺陷，包括后來(lái)發(fā)現的哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ怼?/p>

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非常感謝小伙伴“鐘銘聊科學(xué)”的厚愛(ài)、信任和邀請。

對于數學(xué)僅限于學(xué)校里學(xué)的那點(diǎn)東西，薄如蟬翼，談不上什么深刻理解，但也聽(tīng)說(shuō)過(guò)數學(xué)史上有三次危機。限于老郭水平不高，能力有限無(wú)法深入，蜻蜓點(diǎn)水的說(shuō)一下。

第一次數學(xué)危機-無(wú)理數的發(fā)現勾股定理是咱們小伙伴們都熟悉的，a^2+b^2=c^2。這個(gè)公式出來(lái)之后就用到了已知兩條邊長(cháng)求解直角三角形第三條邊的邊長(cháng)問(wèn)題上。很明顯，開(kāi)平方之后會(huì )出現根號2、根號3這種情況，這種不能完全開(kāi)平方的數是無(wú)限不循環(huán)的小數，我們現在叫做無(wú)理數。

我們現在理解這些數當然是沒(méi)問(wèn)題的，不過(guò)在當時(shí)，這種數的出現，打破了畢達哥拉斯學(xué)派認為的世界的和諧性質(zhì)。他們認為宇宙萬(wàn)物都可以歸結為整數或者是整數之比。這就導致了一種認識上的“危機”，這個(gè)危機被稱(chēng)為第一次數學(xué)危機。

其實(shí)，這次“危機”（我? ??不認為這是什么危機）給幾何的發(fā)展帶來(lái)了一次推動(dòng)。因為，出現了無(wú)理數意味著(zhù)，人類(lèi)依靠直覺(jué)和經(jīng)驗建立的科學(xué)不一定是可靠的，而嚴格的推理證明才是靠得住的。從那以后，希臘人開(kāi)始重視演繹推理，并且建立了幾何公理體系。這就是危難之中的機遇，古希臘人抓住了這個(gè)機遇，創(chuàng )造了平面幾何的第一次輝煌。

第二次數學(xué)危機-阿基里斯追不上烏龜“阿基里斯追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)數學(xué)悖論故事是很有名的，其實(shí)我們現在的小伙伴都能知道，這是不可能發(fā)生的事，只要求一個(gè)極限，這個(gè)事就搞定了，跟本不存在追不上烏龜的事情。然而在17世紀，微積分剛剛誕生那個(gè)時(shí)代，這個(gè)事還真是個(gè)大事。

當時(shí)包括牛頓、萊布尼茨等等大佬都沒(méi)有找到解決這個(gè)問(wèn)題的辦法。當時(shí)微積分剛剛初創(chuàng )，邏輯基礎非常的不牢固。很多基礎問(wèn)題，無(wú)窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大概念不清楚；發(fā)散級數求和的任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續性就進(jìn)行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

那時(shí)候，這個(gè)問(wèn)題爭論的焦點(diǎn)就在于無(wú)窮小量究競是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學(xué)界甚至哲學(xué)界長(cháng)達一個(gè)半世紀的爭論，造成了第二次數學(xué)危機。

同第一次數學(xué)危機一樣，危機帶來(lái)的不是數學(xué)大廈的坍塌，而是數學(xué)家們再次鞏固了數學(xué)大廈的基礎。從數學(xué)家波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，歷經(jīng)50余年，基本上解決了矛盾，為數學(xué)分析奠定了嚴格的基礎。

第三次數學(xué)危機—我給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子好吧，對于集合論老郭也是學(xué)了點(diǎn)最最入門(mén)的皮毛，說(shuō)不太清楚。1903年，羅素找到了集合的一個(gè)漏洞，并打了一個(gè)有趣的比喻說(shuō)，我給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子。也就是說(shuō)你自己給自己刮胡子那么我就不給你刮胡子，如果你不給你自己刮胡子我就給你刮胡子。那么羅素應不應該給自己刮胡子呢？

就這么一個(gè)小小的刮胡子的比喻要了集合論的創(chuàng )立者康托爾老命，最終死在了自己工作的哈佛大學(xué)精神病院里面。由此看出，要是誰(shuí)沒(méi)點(diǎn)精神問(wèn)題，還都不好意思說(shuō)自己是數學(xué)家。

雖然說(shuō)后來(lái)經(jīng)過(guò)很多數學(xué)家的努力，但至今只能說(shuō)是趨于完善，依舊沒(méi)有人能夠完美解決這個(gè)刮胡子的問(wèn)題，因此被稱(chēng)為第三次數學(xué)危機。

總結，其實(shí)我覺(jué)得，三次數學(xué)危機的本質(zhì)其實(shí)都是一個(gè)有窮和無(wú)窮的問(wèn)題。人類(lèi)的經(jīng)驗都是建立在有窮的基礎之上，屬于有窮思維，而高等數學(xué)這種東西，其實(shí)就是在跟無(wú)窮打交道，所以在處理問(wèn)題的時(shí)候必須要小心謹慎。另外，數學(xué)遇到了不能解決的麻煩和挫折可以認為是一種危機，但同時(shí)危機也意味著(zhù)機遇和挑戰，解決危機就意味著(zhù)進(jìn)步。所以，三次數學(xué)危機，三次推動(dòng)了數學(xué)的發(fā)展。

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